[AMC12] 2000 AMC12 24번 문제 풀이

원과 내접에 관한 기하 문제입니다. 24번 문제이지만 2000년도 문제인만큼 2020년도 초중반 수준입니다.

원의 반지름의 길이는 모두 같다는 점에서, 먼저 삼각형 ABC가 정삼각형임을 확인할 수 있습니다.

주어진 호의 길이정보를 통해서 큰 원의 반지름을 구할 수 있고, 단순한 계산을 통해 36/pi임을 알 수 있습니다.
작은 원의 중심 O에서 수선의 AB에 수선의 발을 내려 M이라 하고, AO를 연장하여 원과 닿는 점을 N이라 합시다.

작은 원의 반지름을 r이라 합시다.
AN은 반지름이므로 36/pi이고, ON은 r이므로 AO는 36/pi - r 입니다.
OM은 작은 원의 반지름이므로 r입니다.
AM은 큰 원의 반지름의 반이므로 18/pi입니다.

이후 삼각형 AOM에서 피타고라스의 정리를 쓰면 간단한 이항 몇번으로 r은 13.5/pi임을 알 수 있고,
그렇기에 작은 원의 둘레는 27임을 알 수 있으므로 답은 D).

감사합니다.