[AMC12] 2015 AMC12B 23번 문제 풀이

 

 

 

자연수 길이 세 변을 가진 직육면체의 부피와 겉넓이가 같을 때, 가능한 세 변의 길이 (a,b,c)의 쌍은 총 몇개인지 물어보는 정수 문제입니다.

 

 

먼저, a,b,c의 크기관계가 정해져있다는 사실에 착안하여, 양변을 2abc로 나누고, 임의로 정해준 크기관계를 사용하여 a의 범위를 좁혀보면 3, 4, 5, 6 총 네가지 경우만 가능한 것을 알 수 있습니다.
이제 각각의 경우를 구해보도록 하죠.

 

 

예를 들어 3의 경우에는, 간단한 이항과 정리를 거치면 단순한 디오판토스 방정식이 나옴을 볼 수 있습니다.
강제 인수분해와 주어진 크기 조건을 사용하여 가능한 b,c 쌍의 개수를 추려보면 이렇게 a가 3일 때는 답이 총 5개가 나옴을 볼 수 있습니다.

 

 

같은 방식으로 4, 5, 6일때 각각 반복해보면, 총 10가지의 가능한 (a,b,c) 순서쌍이 나옴을 볼 수 있습니다.
따라서 답은 10, B)가 되겠습니다.

감사합니다.