[AMC12] 2002 AMC12A 24번 문제 풀이

대놓고 Do’ Moivre’s theorem을 사용하라고 문제에서부터 던져준 대수 문제입니다.

먼저, 문제에서 대놓고 어필하듯이 이 복소수들을 Euler form으로 바꿔줍시다.
a+bi를 r*cis(theta)라고 하면, a-bi는 r*cis(-theta)임을 직관적으로 알 수 있습니다.
(크기는 같은데 Im(c)만 반대이기 때문)

이를 이용해 주어진 등식을 다시 표현하면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
두 복소수가 같기 위해선 크기와 각도가 모두 같아야 하므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있는데:

많은 학생들이 놓쳤을 수 있지만 r = 1 뿐만 아니라 r = 0일때도 가능합니다.
r = 0 일때는 당연히 하나의 해만 존재하고,
r = 1 일때는 2003개의 해가 존재하니 총 해의 개수는 2004, 답은 e가 되겠습니다.

감사합니다.