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복소수와 함수에 관한 후반부 대수 문제입니다. 먼저 인수정리에 따라 3차식을 인수분해 한 꼴로 나타낼 수 있습니다. 원하는 식의 형태가 p(x^4)임을 간단히 눈치챌 수 있으므로, 위에서 나타낸 식에 x 자리에 x^4을 대치하여 식을 만들어줍시다. 이후 2009, 9002에 대해선 당연히 각각 두개의 실근이 있음을 알 수 있지만, 2009 + 9002pi*i는 좀 애매할 수 있습니다. 하지만 De’Moivre’s theorem적 관점에서 살펴보면, 근 네개는 그냥 복소평면에서 90도 간격으로 떨어진 네개의 점임을 알 수 있고, 자명하게도 각도를 생각해보면 실수축 위에 존재하는 것은 불가능합니다. 따라서 답은 총 4개, A)가 되겠습니다. 감사합니다.

디오판토스 방정식에 관한 정수론 문제입니다. 먼저 인수분해를 이용하여 공통부분을 통분해주고, 다음과 같이 나타내줍니다. 공통된 부분이 보이므로, 치환을 통해 간단하게 만들어 주도록 합시다. 치환 시 위와 같은 단순한 일차방정식이 되므로, m과 n의 값을 구할 수 있습니다. 이를 통해 몇번의 노가다와 함께 a, b를 구해주시면 답은 10 - 7 = 3, C)가 되겠습니다. 감사합니다.

원과 길이에 관한 기하 문제입니다. 먼저 몇개의 보조선을 그어서 정삼각형 하나를 만들 수 있습니다. 이렇게 만든 정삼각형을 통해 얻은 길이 정보를, 문제에서 준 유일한 길이 정보인 ‘radius length of 4’를 이용하기 위해 둔각삼각형 하나를 만들어줍시다. 여기서 각도도 알고, 세 변의 길이도 모두 알기 때문에, x에 관한 이차방정식을 만들 수 있기에 근의 공식을 통해 x를 쉽게 구해주시면 답은 C)임을 알 수 있습니다. 감사합니다.

분명 이등변사다리꼴에 관한 기하 문제임에도 불구하고 자연로그가 나오는 굉장히 특이한 기하/대수 문제입니다. 먼저 그림부터 주어진 조건대로 그려본다면 (길이비가 맞진 않지만) 위와 같은 모양을 얻을 수 있는데요, 이후 간단한 로그의 성질과 이등변사다리꼴의 대칭성을 이용하면 다음과 같은 길이 정보들을 얻을 수 있습니다. 일반적으로는 로그끼리 제곱하고 더하고 루트하고 이런 내용에 대한 공식은 없습니다만, 문제에선 의도적으로 3:4:5의 특수비 직각삼각형을 주었습니다. 따라서 빗변의 길이를 쉽게 구할 수 있습니다. 이를 통해 구한 길이정보들을 조합하여 둘레를 구하면 답은 18 (AIME형식으로는 018)이 되겠습니다. 감사합니다.

자릿수의 합에 관한 조합 문제입니다. 먼저 이런 문제를 처음 접할 때는 수를 어떻게 모두 더해야 할 지 고민인 경우가 많을텐데요, Palindrome을 각각 다 더한다기보단 각 자릿수에 집중하는 방법이 훨씬 풀기 쉬운 경우가 많습니다. 이와 같이 a, b, c 각각 나누어 생각해보면, 몇 번 세어지는가를 중심으로 생각하여 각각이 얼마나 카운팅 되는지 알아보는 것은 쉬우므로, 셋을 모두 더하면 놀랍게도 45 * 1100000으로, 자릿수의 합은 총 18, 답은 b가 되겠습니다. 감사합니다.

계수에 관한 대수 문제입니다. 먼저 주어진 조건에 맞추어 식을 모두 적어줍니다. p(0)에선 상수항을 구할 수 있고, p(1)과 p(-1)을 통해서는 추가적인 정보들을 찾을 수 있습니다. p(2)와 p(-2)를 합치면 3차와 1차항은 서로 상쇄될 것이기 때문에, 사실상 남는 것은 상수항과 이차항 뿐입니다. 따라서 b만 k에 대해 표현해주면 되기 때문에, 위에서 구한 두 식을 합치고 양변을 2로 나누어 b = 3k/2임을 구할 수 있으므로, 이후 간단한 계산에 따라 P(2) + P(-2) = 8b + 2k = 14k, 답은 E)가 되겠습니다. 감사합니다.

자연수 길이 세 변을 가진 직육면체의 부피와 겉넓이가 같을 때, 가능한 세 변의 길이 (a,b,c)의 쌍은 총 몇개인지 물어보는 정수 문제입니다. 먼저, a,b,c의 크기관계가 정해져있다는 사실에 착안하여, 양변을 2abc로 나누고, 임의로 정해준 크기관계를 사용하여 a의 범위를 좁혀보면 3, 4, 5, 6 총 네가지 경우만 가능한 것을 알 수 있습니다. 이제 각각의 경우를 구해보도록 하죠. 예를 들어 3의 경우에는, 간단한 이항과 정리를 거치면 단순한 디오판토스 방정식이 나옴을 볼 수 있습니다. 강제 인수분해와 주어진 크기 조건을 사용하여 가능한 b,c 쌍의 개수를 추려보면 이렇게 a가 3일 때는 답이 총 5개가 나옴을 볼 수 있습니다. 같은 방식으로 4, 5, 6일때 각각 반복해보면, 총 10가지의 ..

넓이와 점대칭에 관한 기하 문제입니다. 물론 사인15도의 값을 정확히 외우고 있다면 삼각형 ABE의 넓이를 직접적으로 계산할 수 있으나, 보통의 경우는 30도까지만 외우기에 30도를 사용하기 위해 삼각형 BCF를 90도 반시계방향으로 회전하여 붙여줍니다. 이를 통해서 두배의 넓이를 구하여 반으로 나누면 간접적으로 아랫 삼각형의 넓이를 구할 수 있고, 위쪽 삼각형은 직각이등변삼각형으로 넓이를 쉽게 구할 수 있으니 비율은 2대1, 답은 D)가 됨을 확인할 수 있습니다. 감사합니다.